“Debemos saber, sabremos”

David Hilbert, epitafio.

Muchas veces es común escuchar que las matemáticas son perfectas, pues son algorítmicas, claras, concisas, verdaderas, etc; dicha afirmación puede también extenderse a otros sistemas formales y nos parece que dicha proposición es verdadera, pero ¿Es realmente verdadera? ¿Qué parámetros se usaron para llegar a tal afirmación? ¿Por qué mucha gente lo cree?. Existe una tendencia humana por querer conocer el mundo, por querer desarrollar un sistema que nos permita comprender nuestro entorno. Nuestro candidato desde el siglo XIX ha sido la matemática, la escogimos pues nos pareció que era lo más cercano a la perfección que podíamos desarrollar, nos pareció que era aquello que nos daría la puerta al saber, y al final resultó no ser así.

Existe una falla en el fondo de las matemáticas, una falla que implica que nunca podremos saber todo con certeza, siempre habrá proposiciones que no podremos probar, no sabemos cuales son esas afirmaciones pero sabemos que están ahí.

Durante 2000 años los postulados de Euclides se consideraron cimientos sólidos para toda la geometría y las matemáticas, pero con el descubrimiento de las geometrías no euclidianas estos cimientos comenzaron a desmoronarse. Para terminar de derrumbarlos a mediados de los 1800 el matemático Georg Cantor impulsó una nueva rama de las matemáticas, la teoría de conjuntos, dicha teoría revolucionó, entre otras cosas, el concepto que teníamos acerca del infinito, durante 2000 años el infinito aristotélico se consideró innegable, de manera similar a los postulados de Euclides, ante esta revelación sobre el infinito la matematico se fracturó desatando un muy animado debate sobre las matemáticas. Por un lado surgieron los llamados intuicionistas, que eran aquellos que creían que la matemática  era una concepción pura de la razón humana y el infinito de Cantor no tenía sentido alguno. En oposición a estos, surgieron los llamados formalistas, aquellos que consideraban que la matemática debía ser una disciplina regida por nuevos cimientos lógicos y sólidos mediante la teoría de conjuntos, el miembro de los formalistas más reconocido fue el matemático David Hilbert. 

David Hilbert era prácticamente una leyenda viva, pues había realizado aportaciones significativas en casi todas las áreas de la matemática. Hilbert consideraba que un sistema axiomático de pruebas basado en la teoría de conjuntos podría regresarle a las matemáticas esa estabilidad que en antaño tenía, pues hacer pruebas a partir de axiomas era una forma segura de demostrar cualquier afirmación. Dicho sistema de pruebas debía de ser formalizado para librarlo de cualquier ambigüedad derivada del lenguaje natural, esta formalización llegó de la mano de Bertrand Russel y Alfred North Whitehead en su obra “Principia Matematica” compuesta de tres volúmenes de densos, extenuantes y exactos apuntes matemáticos, les toma solo una cuantas centenas de páginas idear una prueba formal de 1+1=2. Este sistema de pruebas te permite comprobar propiedades del sistema formal, aspecto que resultó muy conveniente para Hilbert y los formalistas.

Había tres preguntas que Hilbert quería responder sobre la naturaleza de las matemáticas. ¿Es la matemática completa? es decir ¿Todas sus afirmaciones verdaderas pueden ser demostradas?. ¿Es la matemática consistente? es decir ¿Está libre de contradicciones?. Y ¿Es la matemática decidible? es decir ¿Existe un algoritmo finito que pueda determinar si una afirmación se deriva de los axiomas?. Hilbert estaba convencido de que la respuesta a estas tres preguntas era un rotundo “SI”. En una conferencia dada durante una convención matemática realizada en 1930 Hilbert expuso su sueño formalista sobre las matemáticas de completitud, consistencia y decidibilidad con un inolvidable discurso que incluyó la siguiente frase “en oposición al iluso lema matemático ‘ignorabimus’ (no sabremos, en latin) nuestro lema deberá ser ‘debemos saber, sabremos’ ” pero a menos de una año de expresar su discurso el sueño formalista ya comenzaba a derrumbarse.

En 1931 el lógico Kurt Godel publicó su primer teorema de incompletitud, en el Godel demuestra que la respuesta a la primer pregunta sobre la completitud es un “NO“. Para su demostración Godel idea un sistema formal matemático-aritmético un tanto peculiar y engorroso pero efectivo para su propósito. En dicho sistema Godel crea una serie de axiomas y comienza a probar proporciones de su sistema formal, construye las demostraciones suficientes para encontrar una proposición muy especial, dicha proposición dice algo como lo siguiente: 

No hay prueba alguna para la proposición con el identificador ‘G’.

La cuestión es que el identificador de la proposición anterior es ‘G’, por lo que: 

G = No hay prueba alguna para la proposición con el identificador ‘G’.

Puesto que la completitud se demuestra buscando una prueba para la proposición en cuestión, si no se encuentra dicha prueba entonces el sistema es incompleto. Así que, si encontramos una prueba para la proposición ‘G’, lo que dicha prueba estaría demostrando es que no hay ninguna prueba, por lo que estaríamos estancados en una contradicción pues tenemos una prueba que dice que no hay pruebas, lo que haría que el sistema formal fuese inconsistente, la otra opción es que la proposición es verdadera y por lo tanto no hay ninguna prueba de su veracidad, lo que hace que el sistema formal este incompleto

El teorema de incompletitud de Godel establece que la verdad y la demostrabilidad no siempre van de la mano y probó que Hilbert estaba equivocado, por lo menos en la cuestión de la completitud, siempre habrá proposiciones verdaderas sobre la matemática que no pueden ser probadas. Ahora tendremos que conformarnos con tener un sistema consistente, pero unos años más tarde Godel publica su segundo teorema de incompletitud, donde demuestra que lo mejor a lo que podemos aspirar es a un sistema consistente pero incompleto de la matemática, pero dicho sistema, al ser incompleto, no puede demostrar su propia consistencia, por lo que algunas contradicciones podrían aparecer en un futuro mostrando que todo tu sistema siempre a sido contradictorio. 

Ahora solo queda la tercera y última pregunta de Hilbert ¿Es la matemática decidible? el trabajo de responder a otra pregunta recayó en el matemático Alan Turing. Turing ideó un mecanismo ahora llamado “máquina de Turing”, dicho mecanismo consiste en una cinta infinita, un cabezal de lectura y escritura, un conjunto de símbolos, y un conjunto de estados posibles, dichos estados definen el comportamiento del cabezal a lo largo de la cinta y definen también el calculo a realizar, si la máquina se detiene entonces el cálculo está completo, pero ¿Cómo determinar si un algoritmo se detendrá o no?, este problema era similar al problema de la decidibilidad. Para demostrar la decidibilidad se debe determinar si toda proposición se deriva de los axiomas del sistema, para ello se requiere que la respuesta se de en un lapso finito de tiempo, pero surge un problema cuando nuestro sistema trabaja con el infinito, si podemos tener un conjunto infinito de axiomas, entonces podremos tener un conjunto infinito de proposiciones derivadas y proposiciones no derivadas, por lo que, al operar con el infinito, siempre habrá proposiciones cuya derivabilidad tiene a infinito, y como tiende a infinito entonces el lapso de tiempo necesario para realizar el cálculo tiene al infinito, por lo tanto es indecidible, no se puede saber si toda proposición deriva de los axiomas pues no tenemos tiempo suficiente para analizar todas las proposiciones.

La respuesta a las tres preguntas es “NO”, por lo que no puede garantizarse que las matemáticas están sobre cimientos sólidos. Hay una falla en el fondo de las matemáticas, dicha falla nos dice que no podremos saber todo con certeza, pero, esto no implica que el conocimiento se detenga, pues al intentar conocer todo acerca del mundo se genera toda una serie de descubrimiento e invenciones que hacen posible que el conocimiento humano se enriquezca. Desde la invención de un sistema formal lógico-matemático hasta la invención de la computación digital, todas estas creaciones frutos, en mayor o menor medida, de las interrogantes que surgieron hace más de un siglo sobre un sistema que nos parecía perfecto, tal vez lo mejor para la humanidad es no encontrar una sistema perfecto, tal vez lo mejor es estar condenados a buscar eternamente la perfección, condenandonos a seguir mejorandonos eternamente.

Fuentes: 

• Piñeiro, Gustavo Ernesto. Godel: Dos teoremas que revolucionaron las matemáticas. RBA.
• Piñeiro, Gustavo Ernesto. Cantor: La formalización del concepto de infinito. RBA
• .Piñeiro, Gustavo Ernesto. Hilbert: En busca de unos axiomas universales. RBA
• .Piñeiro, Gustavo Ernesto. Turing: La mente que inauguró la era de la computación. RBA

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