“El infinito siempre es en potencia, nunca en acto”

Aristoteles, Metafísica.

La noción de infinito ha fascinado a filósofos y matemáticos a lo largo de la historia de la humanidad. Desde las antiguas civilizaciones hasta la era moderna, el concepto de infinito ha desafiado nuestra comprensión y ha desempeñado un papel fundamental en la evolución del pensamiento humano. En este artículo, me propongo explorar cómo el concepto de infinito ha evolucionado a lo largo de los siglos hasta nuestros días, desde sus raíces en la filosofía griega hasta su aplicación en las ciencias de la era moderna. Abordaré las diversas interpretaciones y controversias que han surgido en torno al infinito, principalmente me centraré en las concepciones de Aristoteles y de Georg Cantor. Comprenderemos cómo el infinito resultó ser mucho más complejo de lo que los antiguos consideraban.

¿Qué es el infinito? ¿Qué queremos decir, por ejemplo, cuando se afirma que la secuencia 1, 2, 3, 4 ,5, …, es infinita? En el siglo IV a.c., Aristoteles postuló que podemos responder a esta pregunta de dos formas diferentes.

Para entender la primer forma que Aristoteles tiene de concebir el infinito, imaginemos un pueblo que se haya impuesto a sí mismo la tarea de contar y anotar todos los números naturales (o sea se, todos los números enteros positivos mayores a 0) ¿Podrian algun dia anotar todos los números naturales? La verdad es que no importa cuánto tiempo le dediquen a esta tarea, si lo hacen durante años, siglos o eones; nunca jamas terminaran su labor. El motivo es que cualquiera que sea el número hasta donde su cuenta llegue, siempre habrá un número más por escribir. Si llegan hasta el 100 siempre existirá el 101; si llegan al 1000, siempre existirá el 1001; y si llegan hasta cien mil millones, siempre podrán llegar hasta cien mil millones más uno. Nunca llegarán al último número simplemente porque este último número, aparentemente,  no existe. 

Observemos entonces que, a pesar de las vastas y extensas anotaciones de este pueblo, nunca llegaran a contener la totalidad infinita de los números naturales, En los primeros años de su conteo habrán anotado cientos, luego miles y después millones, pero siempre tendrán anotada una cantidad finita de números, simplemente porque con el tiempo suficiente siempre se podrá recorrer esta secuencia de principio a fin. La infinitud de la secuencia se manifiesta en la característica, casi inaprensible, de nunca terminar, una propiedad futura inalcanzable. A esta forma de concebir el infinito Aristoteles la llamó “el infinito en potencia”. 

La segunda forma de concebir el infinito para Aristoteles es entenderlo como una característica presente. En este caso no sirve suponer la existencia de un pueblo milenario sin mejores cosas que hacer que contar números hasta el fin de sus días; en este caso es necesario suponer la existencia de un ser sobrenatural que ya ha apuntado todos los números, en un acto de voluntad prácticamente divina. Resulta prácticamente imposible, para nosotros, comprender lo que este acto implica ¿Somos capaces de representarnos un todo que está presente pero que, sin embargo, nunca termina?. De hecho es posible mostrar situaciones reales en los que el infinito aparece, los numero son un buen ejemplo de ello así como el tamaño aparente del universo o incluso la hipotética masa de un agujerom negro. a este infinito Aristoteles los llamó “el infinito en acto”.

Sin embargo este infinito en acto, para Aristoteles, no es real. Aristoteles concibe que, si cualquiera de nosotros concibe que algo es infinito en acto es porque no conocemos la totalidad de ese objeto, ya sea porque nos falta observación o simplemente porque la magnitud del objeto escapa a nuestro entendimiento, es un “infinito aparente” alojado solo en nuestra ignorancia.

Tuvieron que pasar unos cuantos siglos hasta que llegase el matemático Georg Cantor, quien contempló una nueva forma de ver al infinito, forma con la cual al fin se pudo aceptar plenamente al infinito en acto como real. Georg Cantor, a mediados del siglo XIX, hizo uso de una nueva rama de las matemáticas para estudiar el infinito, rama que él mismo había creado, la teoría de conjuntos. De forma simple un conjunto es, esencialmente, una “entidad” cuya función es representar y describir agrupaciones de otras “entidades” denominadas “elementos”, dichos elementos, generalmente, son de la misma naturaleza, es decir, comparten alguna característica semejante entre sí.

Cantor se preguntaba si todos los conjuntos infinitos eran iguales, es decir, si todos tenían el mismo tamaño, dicha pregunta podría parecernos extraña ya que si todos son infinitos el tamo de todos sería infinito, pero esto parecía no convencer a Cantor, para encontrar la respuesta creo una sencilla, pero efectiva, prueba para comparar dos conjuntos infinitos y poder determinar si realmente ambos son del mismo tamaño.

¿Cuál conjunto será más grande? ¿El de los números naturales o el de los números reales entre 0 y 1? La respuesta podría parecernos obvia pues hay una cantidad infinita de ambos, por lo que ambos conjuntos son iguales, o por lo menos eso parece. La prueba que Cantor creó para comprobar este argumento consiste en lo siguiente.

Supongamos que tenemos una lista infinita y que en ella logramos enlistar, a manera de índice, todos los números naturales y los emparejamos uno a uno con todos los números reales mayores a 0 y menores a 1, dichos números reales tendrían infinitos decimales y estarían en orden aleatorio, lo fundamental es asegurarse que ningún número se repita. Si podemos hacer sin que sobre ningún número natural ni ningún número real entonces lograremos demostrar que ambos conjuntos tienen el mismo tamaño. Asumamos que esto ha sucedido, que tenemos todos los números naturales a manera de índice para todos los números reales entre 0 y 1, ahora comencemos a escribir un nuevo número real, comencemos tomando el primer dígito decimal del primer número real y le sumamos 1, si dicho número es un 9 entonces le restamos 1, continuemos tomando el segundo dígito decimal del segundo número real y le sumamos 1 y así sucesivamente, cada dígito que tomamos debemos agregarlo al nuevo número que estamos escribiendo en el orden en el que lo tomamos.

Una vez hayamos terminado tendremos como resultado un nuevo real que no estará en la lista ¿Como es esto posible si se supone que ya los habíamos enlistado todos? Y es que si buscamos este nuevo número nos daremos cuenta que efectivamente nunca aparece ya que su primer dígito decimal es diferente al primer dígito decimal del primer número de la lista, su segundo dígito decimal será diferente al segundo dígito decimal del segundo número, este nuevo número siempre será diferente en por lo menos un dígito decimal, podemos notar que los dígitos de este nuevo número corresponde a los dígitos en diagonal de los números reales de la lista, por este hecho a este procedimiento se le conoce como la prueba de diagonalización de Cantor.

Esta prueba demuestra que debe haber más números reales entre 0 y 1 que números naturales, por lo que estos dos conjuntos no son iguales y por ende no todos los infinitos son del mismo tamaño, Cantor llamó a esto infinitos contables (Números Naturales) e incontables (Números Reales) demostrando que el infinito es mucho más complejo de lo que el mundo se había imaginado.

A continuación se muestra un ejemplo de dicha prueba:

Nuevo número: 0.76868293864235……………………

Gracias al trabajo de Cantor ahora podíamos hablar de infinitos que eran contables respecto a otros infinitos, esto no quiere decir que podamos contar realmente estos infinitos ya que si logramos contarlos significa que logramos llegar al final y, por lo tanto, dejarían de ser infinitos. Se nos había revelado la verdadera magnitud del concepto de infinito abriéndonos nuevas posibilidades para expandir nuestro entendimiento sobre el universo o por lo menos para intentar hacerlo.

Fuentes: 

• Piñeiro, Gustavo Ernesto. Godel: Dos teoremas que revolucionaron las matemáticas. RBA.
• Piñeiro, Gustavo Ernesto. Cantor: La formalización del concepto de infinito. RBA.

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